Worum es geht
Der Value at Risk ist die zentrale Kennzahl der Marktrisikomessung: Er gibt an, welche Wertminderung mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit über eine bestimmte Haltedauer nicht überschritten wird. Für Effektenfonds, die Derivate im Modell-Ansatz einsetzen, ist er zudem eine regulatorische Limitengrösse. Dieser Beitrag zeigt die drei Berechnungsmethoden, den Expected Shortfall, das Backtesting mit dem Kupiec-Test und die Vorgaben der KKV-FINMA – jeweils mit Zahlenbeispiel.
Was gilt für Effektenfonds
Die Fondsleitung oder die SICAV wendet den Commitment-Ansatz I, den Commitment-Ansatz II oder den Modell-Ansatz an; der Modell-Ansatz bedarf der Genehmigung der FINMA (Art. 33 Abs. 1 und 2 KKV-FINMA). Für übrige Fonds gelten die Derivatvorschriften sinngemäss (Art. 65 Abs. 1 KKV-FINMA).
| Parameter | Vorgabe | Quelle |
|---|---|---|
| Berechnung | täglich, auf Basis der Positionen des Vortags | Art. 39 Abs. 2 KKV-FINMA |
| Konfidenzniveau | einseitig 99 % | Art. 39 Abs. 2 Bst. a |
| Haltedauer | 20 Handelstage | Art. 39 Abs. 2 Bst. b |
| Beobachtungszeitraum | effektiv mindestens ein Jahr (250 Bankwerktage) | Art. 39 Abs. 2 Bst. c |
| Relative VaR-Limite | VaR Fonds ≤ 2 × VaR Vergleichsportefeuille, zu jeder Zeit | Art. 38 Abs. 4 |
| Absolute VaR-Limite | mit der FINMA vereinbart, im Prospekt festgehalten | Art. 40 Abs. 6 |
| Vergleichsportefeuille | periodisch, mindestens quartalsweise überprüft | Art. 40 Abs. 3 |
| Backtesting | 1-Tages-VaR gegen tatsächliche Wertveränderung, 250 Beobachtungen | Art. 41 Abs. 1 und 3 |
| Ausreisser | mehr als sechs: vertiefte Abklärung, Prüfgesellschaft und FINMA unverzüglich informieren | Art. 41 Abs. 5 |
| Stresstests | mindestens monatlich | Art. 42 Abs. 1 |
| Commitment-Ansätze | Derivatengagement ≤ 100 %, Gesamtengagement ≤ 200 % des Nettofondsvermögens (mit vorübergehender Kreditaufnahme ≤ 210 %) | Art. 72 Abs. 3 KKV |
Der VaR muss Zins-, Währungs-, Aktien- und Rohstoffrisiken sowie bei Optionen Gamma- und Vega-Risiken erfassen (Art. 39 Abs. 3 KKV-FINMA). Die Bewilligungsseite für Verwalter von Kollektivvermögen zeigt, wie das Risikomanagement in die Organisation eingebettet wird.
Methode 1: parametrischer VaR
Unter der Annahme normalverteilter Tagesrenditen gilt:
VaR_α(h) = V · ( z_α · σ_1 · √h − μ_1 · h )
V Portfoliowert
z_α Quantil der Standardnormalverteilung, z_0,99 = 2,326
σ_1 Standardabweichung der Tagesrendite
μ_1 erwartete Tagesrendite (oft ≈ 0 gesetzt)
h Haltedauer in Handelstagen
Beispiel (fiktiver Fonds): V = CHF 100 Mio., σ_1 = 1,1 %, μ_1 = 0.
- VaR 1 Tag: 2,326 · 0,011 · 100 = CHF 2,56 Mio.
- VaR 20 Tage: 2,56 · √20 = 2,56 · 4,472 = CHF 11,44 Mio. (11,4 %)
Die Skalierung mit √h setzt unabhängige, identisch verteilte Renditen voraus. Bei Volatilitäts-Clustern oder Autokorrelation ist sie nur eine Näherung; die Annahme gehört in die Modelldokumentation nach Art. 38 Abs. 2 KKV-FINMA.
Volatilität schätzen: Häufig wird σ_1 mit exponentiell gewichteten Renditen (EWMA) geschätzt:
σ_t² = λ · σ_(t−1)² + (1 − λ) · r_(t−1)²
Mit λ = 0,94, σ_(t−1) = 1,0 % und einer Vortagesrendite von −2,5 % folgt σ_t = √(0,94 · 0,0001 + 0,06 · 0,000625) = 1,15 %. Die mittlere Verzögerung der Gewichte beträgt λ / (1 − λ) ≈ 16 Tage. Wer gewichtet, muss deshalb darlegen, wie der effektive Beobachtungszeitraum von mindestens einem Jahr nach Art. 39 Abs. 2 Bst. c KKV-FINMA eingehalten wird; ein solches Modell eignet sich gut als Frühindikator neben dem Limitenmodell.
Methode 2: historische Simulation
Die aktuellen Positionen werden mit den Marktbewegungen der letzten 250 Tage neu bewertet. Der VaR ist das empirische Quantil, bei 250 Szenarien und 99 % also der Wert zwischen der zweit- und drittgrössten Einbusse.
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tagesrendite | −3,40 % | −2,95 % | −2,61 % | −2,20 % | −2,05 % |
VaR 99 % = 2,95 % − 0,5 · (2,95 % − 2,61 %) = 2,78 %, also CHF 2,78 Mio. Die Methode erfasst schiefe Verteilungen und nichtlineare Instrumente ohne Verteilungsannahme, reagiert aber träge auf neue Marktregimes.
Methode 3: Monte-Carlo-Simulation
Aus einer geschätzten Kovarianzmatrix Σ werden viele Zufallsszenarien erzeugt und das Portfolio in jedem Szenario vollständig neu bewertet:
r = μ + A · ε, mit Σ = A · Aᵀ (Cholesky-Zerlegung), ε ~ N(0, I)
VaR = Quantil der simulierten Wertänderungen
Bei N = 10'000 Szenarien ist der 99 %-VaR die 100.-grösste Einbusse. Der Stichprobenfehler sinkt mit 1/√N. Die Methode eignet sich für Optionen und Pfadabhängigkeiten, ist aber nur so gut wie die angenommene Verteilung.
Expected Shortfall
Der Expected Shortfall misst die durchschnittliche Einbusse in den Fällen jenseits des VaR:
ES_α = E[ Einbusse | Einbusse ≥ VaR_α ]
Normalverteilung: ES_α = V · σ_1 · φ(z_α) / (1 − α)
φ Dichte der Standardnormalverteilung, φ(2,326) = 0,02665
Parametrisch: ES 1 Tag = 100 · 0,011 · 0,02665 / 0,01 = CHF 2,93 Mio., also das 1,15-Fache des VaR.
Historisch: Mittel der 2,5 grössten Einbussen = (3,40 + 2,95 + 0,5 · 2,61) / 2,5 = 3,06 %. Das Verhältnis ES/VaR von 1,10 im historischen Beispiel und 1,15 unter Normalverteilung wächst bei dicken Verteilungsenden deutlich an.
Limiten: relative VaR-Limite und Commitment-Ansatz
Relative VaR-Limite: Das Vergleichsportefeuille ohne Hebelwirkung hat einen VaR (20 Tage, 99 %) von 8,0 %. Die Limite beträgt 2 · 8,0 % = 16,0 %. Mit 11,4 % ist sie zu 71,5 % ausgelastet.
Commitment-Ansatz II: Das Gesamtengagement ist das Nettofondsvermögen plus die Anrechnungsbeträge der Derivate (Art. 35 Abs. 3 KKV-FINMA); Basiswertäquivalente nach Anhang 1, bei Optionen mit Delta gewichtet.
| Derivat | Rechnung | Anrechnung (Mio. CHF) |
|---|---|---|
| Long Index-Futures | Kontrakte · Kontraktgrösse · Indexstand | 40 |
| Long Index-Calls, Kontraktwert 20, Delta 0,5 | 20 · 0,5 | 10 |
| Devisentermingeschäft zur reinen Absicherung | verrechenbar nach Art. 36 Abs. 4 | 0 |
| Derivatengagement | 50 (50 % ≤ 100 %) | |
| Gesamtengagement | 100 + 50 | 150 (150 % ≤ 200 %) |
Backtesting und Kupiec-Test
Bei korrektem Modell ist die Anzahl Ausreisser X in T = 250 Tagen binomialverteilt mit p = 1 %; erwartet werden 2,5.
P(X = x) = C(T, x) · p^x · (1 − p)^(T − x)
Kupiec: LR = −2 · ln[ (1 − p)^(T−x) · p^x ] + 2 · ln[ (1 − x/T)^(T−x) · (x/T)^x ]
LR ist näherungsweise χ²-verteilt mit 1 Freiheitsgrad; kritischer Wert 3,84 (5 %)
| Ausreisser x | P(X ≥ x) | LR | Beurteilung bei 5 % |
|---|---|---|---|
| 0 | 100 % | 5,03 | Modell eher zu vorsichtig |
| 2 | 71,4 % | 0,11 | angemessen |
| 4 | 24,2 % | 0,77 | angemessen |
| 6 | 4,1 % | 3,56 | noch angemessen |
| 7 | 1,4 % | 5,50 | Modell unterschätzt das Risiko |
Der Test bestätigt die Schwelle von Art. 41 Abs. 5 KKV-FINMA: Ab dem siebten Ausreisser wird die Hypothese eines korrekten Modells verworfen. Ergänzend prüft man, ob Ausreisser gehäuft auftreten, etwa mit dem Unabhängigkeitstest nach Christoffersen.
Schritt für Schritt
- 1Methode wählenRisikomessverfahren auf Anlageziele und Risikoprofil abstimmen (Art. 33 Abs. 3 KKV-FINMA).
- 2Modell dokumentierenSpezifikation, Datenquellen, Skalierung, Backtesting und Stresstests beschreiben (Art. 38 Abs. 2).
- 3Täglich rechnenVaR 20 Tage für die Limite, VaR 1 Tag für das Backtesting, Expected Shortfall als Zusatzinformation.
- 4Limiten überwachenAuslastung der relativen oder absoluten VaR-Limite mit Frühwarnstufen.
- ✓Backtesting auswertenAusreisser zählen, Kupiec-Test rechnen, ab sieben Ausreissern Prüfgesellschaft und FINMA informieren.
Checkliste
- Risikomessverfahren im Fondsreglement und Prospekt festgelegt (Art. 49 Abs. 3 KKV-FINMA)
- Parameter 99 %, 20 Tage, 250 Bankwerktage im System hinterlegt
- Vergleichsportefeuille mindestens quartalsweise überprüft
- Brutto-Gesamtengagement aus Derivaten periodisch berechnet (Art. 38 Abs. 5)
- Backtesting täglich mit 250 Beobachtungen dokumentiert
- Expected Shortfall und Stresstests im Risikobericht ergänzt, siehe Stresstests und Szenarioanalyse
- Risikobeiträge je Position ausgewiesen, siehe Konzentrationsrisiken messen
Mehr zu den Pflichten von Verwaltern von Kollektivvermögen finden Sie im Wissensbereich FINIG und Aufsicht.
So unterstützt Peak Compliance
Peak Compliance prüft Ihre VaR-Methodik, richtet Backtesting und Limitenüberwachung ein und erstellt die laufenden Risikoberichte als ausgelagerte Funktion im Risk Management Outsourcing. Für ein erstes Gespräch erreichen Sie uns über die Kontaktseite.
